政府の支出を指数関数的に変化させる、シンプルな連続時間のSFCモデルを作り、解析的に解く

前提
取引フロー表
式一覧
外生変数・パラメータ・初期値
解いていく

※計算ミスを修正しました。2024年8月30日

前提

ノリは前に書いたこちらの記事と同じ。

rokabonatttsu.hatenablog.com

今回の目的意識は、政府の支出を一定から指数関数に書き換えたモデルを作ることであり、解析的に解けるSFCモデルの例示・紹介・教材を作ることではないので、前半部分は省く。

取引フロー表

モデルの構造を示すために、取引フロー表を書いておく

	家計	企業	政府	合計
消費	$-C$	$+C$		$0$
政府支出		$+G$	$-G$	$0$
[メモ:GDP]		[ $+Y$ ]
賃金	$+W$	$-W$		$0$
税	$-T$		$+T$	$0$
貨幣の変化	$-\frac{dH}{dt}$		$+\frac{dH}{dt}$	$0$
合計	$0$	$0$	$0$

式一覧

この記事では、以下の式であらわされる微分方程式体系のストック・フロー一貫モデルを、解析的に解く。
$G=G_0 \exp(\gamma t)$
$C=\alpha_1 Y + \alpha_2 H$
$Y = C+G$
$YD=Y-T$
$T = \theta Y$
$W = C+G$
$\frac{dH}{dt} = G-T$

外生変数・パラメータ・初期値

外生変数とパラメータの一覧

$G$
$\alpha_1$
$\alpha_2$
$\gamma$
$\theta$

$0 < \alpha_1, \alpha_2, \theta < 1$

初期値の設定

$H_{(t=0)} = H_0$
$G_{(t=0)} = G_0$

このとき、 $C, Y, T, YD$ の初期値は

$C_{(t=0)} = \frac{\alpha_1 G_0 + \alpha_2 H_0}{1 - \alpha_1}$
$Y_{(t=0)} = \frac{\alpha_1 G_0 + \alpha_2 H_0}{1 - \alpha_1} + G_0$
$T_{(t=0)} = \theta (\frac{\alpha_1 G_0 + \alpha_2 H_0}{1 - \alpha_1} + G_0)$
$YD_{(t=0)} = (1 - \theta) (\frac{\alpha_1 G_0 + \alpha_2 H_0}{1 - \alpha_1} + G_0)$

解いていく

$C,Y,T,YD,W, \frac{dH}{dt}$ を $H$ と $t$ の関数で書く

$C=\alpha_1 Y + \alpha_2 H$ と $Y = C+G$ から、
$C=\frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H}{1 - \alpha_1}$ 、
$G=G_0 \exp(\gamma t)$ を代入して、
$C=\frac{\alpha_1 G_0 \exp(\gamma t) + \alpha_2 H}{1 - \alpha_1}$ 、

$Y=C+G=\frac{\alpha_1 G_0 \exp(\gamma t) + \alpha_2 H}{1 - \alpha_1} + G_0 \exp(\gamma t) = \frac{G_0 \exp(\gamma t) + \alpha_2 H}{1 - \alpha_1}$
Wも同様にして
$W= \frac{G_0 \exp(\gamma t) + \alpha_2 H}{1 - \alpha_1}$

$T=\theta Y=\frac{\theta}{1 - \alpha_1} \{ G_0 \exp (\gamma t) + \alpha_2 H \}$
$YD=Y-T=\frac{1-\theta}{1 - \alpha_1} \{ G_0 \exp (\gamma t) + \alpha_2 H \}$

$\frac{dH}{dt} =G-T= G_0 exp(\gamma t) - \frac{\theta}{1 - \alpha_1} \{ G_0 \exp(\gamma t) + \alpha_2 H \}=\frac{1-\alpha_1-\theta}{1-\alpha_1} G_0 \exp(\gamma t) - \frac{\alpha_2 \theta}{1 - \alpha_1} H$

先述した初期値を満たしつつこの微分方程式を解くと、私の計算ミスが無ければ、
$H=(H_0-\frac{1-\alpha_1-\theta}{\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta}G_0)\exp(-\frac{\alpha_2\theta}{1-\alpha_1}t)+\frac{1-\alpha_1-\theta}{\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta}G_0\exp(\gamma t)$

$H$ と $t$ の関数で書かれた $C,Y,T,YD,W$ に $H$ を代入して、 $t$ の関数として書く、すなわち $C,Y,T,YD,W$ を解く。

$C=\frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H}{1-\alpha_1}$
$=\{\frac{\alpha_1}{1-\alpha_1}+\frac{\alpha_2(1-\alpha_1-\theta)}{(1-\alpha_1)(\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta)}\}G_0\exp(\gamma t)+\frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}(H_0-\frac{1-\alpha_1-\theta}{\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta}G_0)\exp(-\frac{\alpha_2\theta}{1-\alpha_1}t)$

$Y = C+G$
$=\{1+\frac{\alpha_1}{1-\alpha_1}+\frac{\alpha_2(1-\alpha_1-\theta)}{(1-\alpha_1)(\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta)}\}G_0\exp(\gamma t)+\frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}(H_0-\frac{1-\alpha_1-\theta}{\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta}G_0)\exp(-\frac{\alpha_2\theta}{1-\alpha_1}t)$

$T = \theta Y$
$=\{1+\frac{\alpha_1}{1-\alpha_1}+\frac{\alpha_2(1-\alpha_1-\theta)}{(1-\alpha_1)(\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta)}\}\theta G_0\exp(\gamma t)+\frac{\alpha_2\theta}{1-\alpha_1}(H_0-\frac{1-\alpha_1-\theta}{\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta}G_0)\exp(-\frac{\alpha_2\theta}{1-\alpha_1}t)$

$YD = Y-T$
$=\{1+\frac{\alpha_1}{1-\alpha_1}+\frac{\alpha_2(1-\alpha_1-\theta)}{(1-\alpha_1)(\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta)}\}(1-\theta)G_0\exp(\gamma t)+\frac{\alpha_2(1-\theta)}{1-\alpha_1}(H_0-\frac{1-\alpha_1-\theta}{\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta}G_0)\exp(-\frac{\alpha_2\theta}{1-\alpha_1}t)$

$W = C+G$
$=\{1+\frac{\alpha_1}{1-\alpha_1}+\frac{\alpha_2(1-\alpha_1-\theta)}{(1-\alpha_1)(\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta)}\}G_0\exp(\gamma t)+\frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}(H_0-\frac{1-\alpha_1-\theta}{\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta}G_0)\exp(-\frac{\alpha_2\theta}{1-\alpha_1}t)$

$-\frac{\alpha_2\theta}{1-\alpha_1}< \gamma$ のとき（現実的な仮定）、 $t \rightarrow \infty$ で
$\frac{C}{G} \rightarrow \frac{\alpha_1}{1-\alpha_1}+\frac{\alpha_2(1-\alpha_1-\theta)}{(1-\alpha_1)(\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta)}$
$\frac{Y}{G} \rightarrow 1+\frac{\alpha_1}{1-\alpha_1}+\frac{\alpha_2(1-\alpha_1-\theta)}{(1-\alpha_1)(\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta)}$
$\frac{T}{G} \rightarrow \{ 1+ \frac{\alpha_1}{1-\alpha_1}+\frac{\alpha_2(1-\alpha_1-\theta)}{(1-\alpha_1)(\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta)} \} \theta$
$\frac{YD}{G} \rightarrow \{ 1+ \frac{\alpha_1}{1-\alpha_1}+\frac{\alpha_2(1-\alpha_1-\theta)}{(1-\alpha_1)(\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta)} \} (1 - \theta)$
$\frac{W}{G} \rightarrow 1+\frac{\alpha_1}{1-\alpha_1}+\frac{\alpha_2(1-\alpha_1-\theta)}{(1-\alpha_1)(\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta)}$
$\frac{H}{G} \rightarrow \frac{1-\alpha_1-\theta}{\gamma-\alpha_1\gamma+\alpha_2\theta}$
に収束する。外生変数 $G$ と内生変数 $C,Y,T,YD,W,H$ が比例する。このモデルにおいては、原因 $G$ が結果 $C,Y,T,YD,W,H$ の水準を決めている、と言って良い。