英語WikipediaのSFCモデルの実例をもとに、連続時間のSFCモデルを作り、解析的に解く

この記事では、解析的に解くことができるストック・フロー一貫モデルの例を示す。シンプルなモデルを作り、実際に解く。

1. Wikipediaのモデル
2. Wikipediaモデルを連続時間化（微分方程式体系化）、解析的に解けるように成型する
- 2.1. モデルの式一覧
3. 解析的に解けるモデルを解いてみる

1. Wikipediaのモデル

出典は、

en.wikipedia.org

取引フロー表は

	家計	企業	政府	合計
消費	$-C$	$+C$		$0$
政府支出		$+G$	$-G$	$0$
[メモ:GDP]		[ $+Y$ ]
賃金	$+W$	$-W$		$0$
税	$-T$		$+T$	$0$
貨幣の変化	$-\Delta H_h$		$+\Delta H_s$	$0$
合計	$0$	$0$	$0$

Wikipediaモデルを、以下のように、一部修正。

循環参照がなくなるように式を修正

～～ $C = \alpha_1 Y + \alpha_2 H_{-1}$ ⇒ $C = \alpha_1 Y_{-1} + \alpha_2 H_{-1}$

変数名の統一

～～ $Y_d$ ⇒ $YD$

1.1. モデルの式一覧

1.1.1. 行動方程式

経済部門がどのようにふるまうかを記述する仮定。

$T = \theta Y$
$C = \alpha_1 Y_{-1} + \alpha_2 H_{-1}$

1.1.2. 会計恒等式

会計的な整合性を表す式

$-C + W - T - \Delta H_h = 0$
$C + G - W = 0$
$-G + T + \Delta H_s = 0$
$- \Delta H_h + \Delta H_s = 0$
$H = \Delta H_h + H_{-1}$ または $H = \Delta H_s + H_{-1}$

1.1.3. 定義式

変数の定義のための式

$Y = C + G$

～～ちなみに、会計恒等式で書いた $C+G-W=0$ と連立させると、 $Y = W$ である

$YD = Y - T$

1.2. 式の計算順

1. $C = \alpha_1 Y_{-1} + \alpha_2 H_{-1}$
2. $Y = C + G$
3. $T = \theta Y$
4. $YD = Y - T$
5. $W = C + G$
～～ $C + G - W = 0$ を $W$ について解いたもの
6. $\Delta H_s = G - T$
～～ $-G + T + \Delta H_s = 0$ を $\Delta H_s$ について解いたもの
7. $H = \Delta H_s + H_{-1}$
8. $\Delta H_h = YD - C$
～～ $-C + W - T - \Delta H_h = 0$ を $\Delta H_h$ について解いたもの。 $W=Y$ と $YD=Y-T$ も用いている
9. $- \Delta H_h + \Delta H_s = 0$
～～これが満たされているかどうかを確認し、会計的一貫性が維持されていることを確認する

これをこの記事では連続時間の微分方程式体系に書き直し、解析的に解いてみる（外生変数・初期値・パラメータを用いて、全ての内生変数を時間の関数として書く）

1.3. シミュレーションの様子

ちなみに、このWikipediaモデルをシミュレーションして、Wikipediaのグラフを再現した過去記事がこちら

rokabonatttsu.hatenablog.com

2. Wikipediaモデルを連続時間化（微分方程式体系化）、解析的に解けるように成型する

解析的に解けるモデルを作るには、微分方程式体系で書くのが王道だと思う。ということで連続時間化。式の計算順は可変になると考えて良いと思う。

2.1. モデルの式一覧

$C = \alpha_1 Y + \alpha_2 H$

～～差分方程式体系では、 $C = \alpha_1 Y_{-1} + \alpha_2 H_{-1}$

$Y = C + G$
$T = \theta Y$
$YD = Y - T$
$W = C + G$
$\frac{dH}{dt} = G - T$

～～差分方程式体系では、 $\Delta H_s = G - T$

差分方程式体型の時に用いた $H = \Delta H_s + H_{-1}$ は必要ない。

3. 解析的に解けるモデルを解いてみる

全ての内生変数を、外生変数やパラメータや初期値だけで記述する。

3.1. 外生変数とパラメータの一覧

$G$
$\alpha_1$
$\alpha_2$
$\theta$

3.2. 初期値の設定

$H_{(t=0)} = H_0$
$C_{(t=0)} = C_0 = \alpha_1 Y_0 + \alpha_2 H_0$
$Y_{(t=0)} = Y_0 = C_0 + G$
$T_{(t=0)} = T_0 = \theta Y_0$
$YD_{(t=0)} = YD_0 = (1 - \theta)(C_0 + G)$

を満たすように、 $C_0, Y_0, T_0, YD_0$ を定義する。

$C_0 = \frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H_0}{1 - \alpha_1}$
$Y_0 = \frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H_0}{1 - \alpha_1} + G$
$T_0 = \theta (\frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H_0}{1 - \alpha_1} + G)$
$YD_0 = (1 - \theta) (\frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H_0}{1 - \alpha_1} + G)$

3.3. モデルの式の一覧

$C = \alpha_1 Y + \alpha_2 H$
$Y = C + G$
$T = \theta Y$
$YD = Y - T$
$W = C + G$
$\frac{dH}{dt} = G - T$

3.4. 内生変数を解く

$C = \alpha_1 Y + \alpha_2 H = \alpha_1 (C + G) + \alpha_2 H$

$C = \frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H}{1 - \alpha_1}$

$Y = \frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H}{1 - \alpha_1} + G$

$T = \theta (\frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H}{1 - \alpha_1} + G)$

$YD = (1 - \theta) (\frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H}{1 - \alpha_1} + G)$

$W=Y=\frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H}{1 - \alpha_1} + G$

ほかの全ての内生変数が、Hの関数の形に書き直された。

$\frac{dH}{dt} = G - \theta (\frac{\alpha_1 G + \alpha_2 H}{1 - \alpha_1} + G) = (1 - \theta)G - \theta \frac{\alpha_1 G}{1 - \alpha_1} - \theta \frac{\alpha_2}{1 - \alpha_1} H$

Hについての一階の微分方程式が出てきたので、これを解く。微分方程式の解き方は趣旨と外れるので、ここでは結果だけ書く。私はラプラス変換したりした。計算が間違っていなければ、

$H = H_0 \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t) - G (\frac{1-\theta}{\theta} \frac{1-\alpha_1}{\alpha_2} - \frac{\alpha_1}{\alpha_2}) \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t) + G \{\frac{1-\theta}{\theta} \frac{1-\alpha_1}{\alpha_2} - \frac{\alpha_1}{\alpha_2} \}$

あとはHの関数として書かれた内生変数に、Hを代入するだけ。

$C = \frac{\alpha_2 H_0 \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t) - G \{\frac{1-\theta}{\theta} (1-\alpha_1) - \alpha_1\} \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t) + G \frac{1-\theta}{\theta} (1-\alpha_1)}{1 - \alpha_1}$

$Y = \frac{\alpha_2 H_0 \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t) - G \{\frac{1-\theta}{\theta} (1-\alpha_1) - \alpha_1\} \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t)}{1 - \alpha_1} + \frac{G}{\theta}$

$T = \theta [\frac{\alpha_2 H_0 \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t) - G \{\frac{1-\theta}{\theta} (1-\alpha_1) - \alpha_1\} \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t)}{1 - \alpha_1} + \frac{G}{\theta}$ ]

$YD = (1 - \theta)[\frac{\alpha_2 H_0 \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t) - G \{\frac{1-\theta}{\theta} (1-\alpha_1) - \alpha_1\} \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t)}{1 - \alpha_1} + \frac{G}{\theta}$ ]

$W = \frac{\alpha_2 H_0 \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t) - G \{\frac{1-\theta}{\theta} (1-\alpha_1) - \alpha_1\} \exp(-\theta \frac{\alpha_2}{1-\alpha_1}t)}{1 - \alpha_1} + \frac{G}{\theta}$