エージェントの分布が特定の対数正規分布になるような、「個々のエージェントのランダムさを含む移動規則」の一例についてのメモ

エージェントの位置が一次元であらわされるような場合を扱う。

時間tにおけるエージェントの位置座標をxとおく。x>0の条件を付ける。エージェントの移動規則を、

$x_{(t+1)} = \exp\{\frac{(\ln{x_{(t)}} + \sigma_r r)\sigma}{\sqrt{\sigma^2 + \sigma_r^2}} + \mu (1 - \frac{\sigma}{\sqrt{\sigma^2 + \sigma_r^2}})\}$

とすると、個々のエージェントの移動が確立的なランダムさを含みつつ、エージェントの位置の確率密度は対数正規分布 $f_{(x)}=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2} x} \exp\{- \frac{(\ln{x} - \mu)^2}{2\sigma^2}\}$ に従う。

(

μは $\ln{x}$ の最頻値、σは値の広がりに、特に強く影響するパラメータ。

rは標準化された正規分布で確率密度を表現される乱数(not 確率変数)

$\sigma_r$ はエージェントの移動しやすさを決めるパラメータ。大きいほどエージェントが移動しやすい

)

実際この移動規則で分布を調べてみたら、こんな感じ。

時間とともに一定の形の分布に収束している。

パラメータは、

$\sigma_r=0.05$

$\sigma=0.5$

$\mu=\ln{400}$

で、エージェント数は10^5

t=1000の時の分布を、目標の対数正規分布の関数の定数倍（オレンジの折れ線グラフ）と比較するとこうなる。

ちなみに、エージェントを10個選んで座標の時間変化をプロットするとこんな感じ。

これを考え付いた理由を記録しておく。

参考

変数変換で正規分布にする。

→同じ正規分布を維持しつつ個々のエージェントを移動させる(過去記事)

→変数変換で対数正規分布に戻す

の流れ。

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